Structures algébriques — 2ème BAC Sciences Math : cours et exercices corrigés

Loi interne. Pour tous réels x et y, x + y − 3 est un réel : ∗ est interne sur ℝ.
Associativité. (x ∗ y) ∗ z = (x + y − 3) + z − 3 = x + y + z − 6.
x ∗ (y ∗ z) = x + (y + z − 3) − 3 = x + y + z − 6. Les deux expressions coïncident : ∗ est associative.
Commutativité. x ∗ y = x + y − 3 = y + x − 3 = y ∗ x.
Élément neutre. On cherche e tel que x ∗ e = x, soit x + e − 3 = x, d’où e = 3. La loi étant commutative, e est neutre des deux côtés.
Symétrique. Pour x fixé, on cherche x′ tel que x ∗ x′ = 3, soit x + x′ − 3 = 3, donc x′ = 6 − x, qui est bien un réel.
Tous les axiomes sont vérifiés : (ℝ ; ∗) est un groupe commutatif. ■

Inclusion et non-vacuité. Tout élément 2ⁿ est un réel strictement positif, donc H ⊂ ℝ*₊. De plus 1 = 2⁰ appartient à H, qui est donc non vide.
Stabilité. Soient x et y dans H : il existe des entiers relatifs n et m tels que x = 2ⁿ et y = 2ᵐ.
Alors x × y⁻¹ = 2ⁿ × 2⁻ᵐ = 2^(n − m). Comme n − m ∈ ℤ, ce nombre appartient à H.
Le critère du sous-groupe est vérifié : H est un sous-groupe de (ℝ*₊ ; ×). ■

Morphisme. Pour tous réels x et y : f(x + y) = e^(x+y) = eˣ × e^y = f(x) × f(y). f transforme bien l’addition en multiplication.
Bijectivité. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, avec lim_−∞ eˣ = 0 et lim_+∞ eˣ = +∞. Elle réalise donc une bijection de ℝ vers ]0 ; +∞[ = ℝ*₊.
f est un morphisme bijectif : c’est un isomorphisme, de réciproque x ↦ ln x. ■