Arithmétique dans ℤ — 2ème BAC Sciences Math : cours et exercices corrigés

pgcd(7 ; 5) = 1, qui divise 1 : l’équation admet des solutions.
Solution particulière. 7×3 − 5×4 = 21 − 20 = 1, donc (3 ; 4) convient.
Solution générale. En soustrayant les deux égalités : 7(x − 3) − 5(y − 4) = 0, soit 7(x − 3) = 5(y − 4).
Ainsi 5 divise 7(x − 3). Or 5 et 7 sont premiers entre eux, donc d’après le théorème de Gauss, 5 divise x − 3 : il existe k ∈ ℤ tel que x = 3 + 5k.
En remplaçant : 7 × 5k = 5(y − 4), d’où y = 4 + 7k.
S = { (3 + 5k ; 4 + 7k), k ∈ ℤ }. Vérification : 7(3+5k) − 5(4+7k) = 21 + 35k − 20 − 35k = 1. ✓

Calculons les premières puissances : 2¹ ≡ 2 [7], 2² ≡ 4 [7], 2³ = 8 ≡ 1 [7].
La division euclidienne de 100 par 3 donne 100 = 3 × 33 + 1.
Donc 2¹⁰⁰ = ( 2³ )³³ × 2¹ ≡ 1³³ × 2 ≡ 2 [7].
Comme 0 ≤ 2 < 7, le reste cherché est 2.

Par factorisation. n³ − n = n(n² − 1) = (n − 1) n (n + 1).
C’est le produit de trois entiers consécutifs. Parmi trois entiers consécutifs, l’un au moins est divisible par 3, donc le produit l’est aussi. ■
Corrigé — par congruences. Tout entier n vérifie n ≡ 0, 1 ou 2 [3].
Si n ≡ 0 [3] : n³ − n ≡ 0 − 0 = 0 [3].
Si n ≡ 1 [3] : n³ − n ≡ 1 − 1 = 0 [3].
Si n ≡ 2 [3] : n³ ≡ 8 ≡ 2 [3], donc n³ − n ≡ 2 − 2 = 0 [3].
Dans les trois cas 3 divise n³ − n. ■