Exercice 1Premier ordre
Résoudre y′ = 3y avec la condition y(0) = 2.
Voir la correction
Les solutions de y′ = 3y sont les fonctions y(x) = C e^(3x), C ∈ ℝ.
La condition y(0) = 2 donne C e⁰ = C = 2.
La solution cherchée est y(x) = 2 e^(3x).
2ème BAC Sciences Math · Chapitre 8
Équations différentielles — 2ème BAC Sciences Math : cours et exercices corrigés
4. Trois exercices corrigés
Exercice 2Second ordre, Δ > 0
Résoudre y″ − 5y′ + 6y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 0.
Voir la correction
Équation caractéristique : r² − 5r + 6 = 0, de discriminant Δ = 25 − 24 = 1 > 0.
Les racines sont r = (5 ± 1)/2, soit r₁ = 2 et r₂ = 3.
Forme générale : y(x) = A e^(2x) + B e^(3x), et y′(x) = 2A e^(2x) + 3B e^(3x).
Conditions : y(0) = A + B = 1 et y′(0) = 2A + 3B = 0.
De la seconde, B = −2A/3. En remplaçant : A − 2A/3 = 1, soit A/3 = 1, donc A = 3 et B = −2.
y(x) = 3 e^(2x) − 2 e^(3x). Vérification : y(0) = 3 − 2 = 1 ✓ et y′(0) = 6 − 6 = 0 ✓
Exercice 3Second ordre, Δ < 0
Résoudre y″ + 4y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 2.
Voir la correction
Équation caractéristique : r² + 4 = 0, donc Δ = −16 < 0 et r = ± 2i. Ici α = 0 et β = 2.
Forme générale : y(x) = A cos(2x) + B sin(2x), et y′(x) = −2A sin(2x) + 2B cos(2x).
y(0) = A = 1 ; y′(0) = 2B = 2 donc B = 1.
y(x) = cos(2x) + sin(2x).
5. Les erreurs qui coûtent des points
- Oublier la solution particulière −b/a dans y′ = ay + b.
- Confondre les trois cas : le facteur x n’apparaît que si Δ = 0.
- Utiliser y(0) deux fois au lieu de dériver pour exploiter y′(0).
- Oublier le facteur e^(αx) quand Δ < 0 et que α n’est pas nul.
- Mal dériver cos(βx) : la dérivée est −β sin(βx), le coefficient β s’oublie souvent.
- Ne pas vérifier la solution finale, alors que la vérification est immédiate.
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Le Pack Complet 2ème BAC Sciences Math traite les équations différentielles telles qu’elles tombent à l’examen, avec la rédaction attendue.