Espaces vectoriels — 2ème BAC Sciences Math : cours et exercices corrigés

Sous-espace. Le vecteur nul (0 ; 0 ; 0) vérifie 0 + 0 − 0 = 0, donc il appartient à F : F est non vide.
Soient u = (x₁ ; y₁ ; z₁) et v = (x₂ ; y₂ ; z₂) dans F, et λ, μ deux réels. Le vecteur λu + μv a pour coordonnées ( λx₁ + μx₂ ; λy₁ + μy₂ ; λz₁ + μz₂ ), et
( λx₁ + μx₂ ) + ( λy₁ + μy₂ ) − ( λz₁ + μz₂ ) = λ ( x₁ + y₁ − z₁ ) + μ ( x₂ + y₂ − z₂ ) = λ×0 + μ×0 = 0.
Donc λu + μv ∈ F : F est un sous-espace vectoriel de ℝ³.
Base. L’équation équivaut à z = x + y. Tout élément de F s’écrit donc
(x ; y ; x + y) = x (1 ; 0 ; 1) + y (0 ; 1 ; 1).
La famille { (1 ; 0 ; 1) ; (0 ; 1 ; 1) } est génératrice de F. Elle est libre car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de l’un est nulle, pas celle de l’autre).
C’est donc une base de F, et dim F = 2.

On remarque que u + v = (1 ; 1 ; 2) = w.
Il existe donc une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls : 1·u + 1·v − 1·w = 0.
La famille est liée.
Comme u et v ne sont pas colinéaires, la sous-famille { u ; v } est libre : le rang de la famille vaut 2, et l’espace engendré est le plan vectoriel de base { u ; v }.

Linéarité. Soient u = (x₁ ; y₁), v = (x₂ ; y₂) et λ, μ réels. En posant λu + μv = ( λx₁ + μx₂ ; λy₁ + μy₂ ), on obtient
f(λu + μv) = ( λx₁ + μx₂ + λy₁ + μy₂ ; λx₁ + μx₂ − λy₁ − μy₂ ) = λ (x₁ + y₁ ; x₁ − y₁) + μ (x₂ + y₂ ; x₂ − y₂) = λ f(u) + μ f(v). f est linéaire.
Noyau. f(x ; y) = (0 ; 0) équivaut au système x + y = 0 et x − y = 0. En additionnant : 2x = 0 donc x = 0, puis y = 0.
Ainsi Ker f = { (0 ; 0) } : f est injective.
Conclusion. Par le théorème du rang, rg f = dim ℝ² − dim Ker f = 2 − 0 = 2, donc Im f = ℝ² : f est aussi surjective. f est un automorphisme de ℝ². ■