Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, 𝔻 et ℝ — Tronc Commun : cours et exercices corrigés

Raisonnement par l’absurde. Supposons que √2 soit rationnel. On peut alors l’écrire √2 = p/q avec p et q entiers, q ≠ 0, et la fraction irréductible.
En élevant au carré : 2 = p²/q², donc p² = 2q². Ainsi p² est pair, donc p est pair (le carré d’un impair est impair). Écrivons p = 2k.
Alors (2k)² = 2q², soit 4k² = 2q², donc q² = 2k² : q² est pair, donc q est pair.
p et q sont tous deux pairs, ce qui contredit le fait que la fraction soit irréductible.
L’hypothèse de départ est donc fausse : √2 est irrationnel. ■

On extrait les carrés parfaits : √12 = √(4×3) = 2√3 et √27 = √(9×3) = 3√3.
Le numérateur devient 2√3 − 3√3 + √3 = (2 − 3 + 1)√3 = 0.
Donc A = 0.

Comme 5 ≥ 0, l’inéquation équivaut à l’encadrement −5 ≤ x − 3 ≤ 5.
En ajoutant 3 aux trois membres : −2 ≤ x ≤ 8.
S = [ −2 ; 8 ]. Géométriquement, ce sont les réels dont la distance à 3 est au plus 5.