Arithmétique dans ℕ — Tronc Commun : cours et exercices corrigés

360 = 2 × 180 = 2 × 2 × 90 = 2 × 2 × 2 × 45 = 2³ × 45, et 45 = 3² × 5.
Donc 360 = 2³ × 3² × 5.
Nombre de diviseurs : (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24 diviseurs.

84 = 60 × 1 + 24
60 = 24 × 2 + 12
24 = 12 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 12, donc PGCD(84 ; 60) = 12.
Puis PPCM = (84 × 60) / 12 = 5040 / 12 = 420.

Soit n ∈ ℕ et P = n ( n + 1 ). Deux cas se présentent.
Si n est pair, alors n = 2k et P = 2k ( n + 1 ) : P est pair.
Si n est impair, alors n + 1 est pair, donc n + 1 = 2k et P = 2k n : P est encore pair.
Dans les deux cas, P est pair. ■
Conséquence. Parmi deux entiers consécutifs, l’un est toujours pair — un argument qui resservira souvent.