Calcul intégral — 2ème BAC Sciences Math : cours et exercices corrigés

Posons u(x) = x et v′(x) = eˣ, d’où u′(x) = 1 et v(x) = eˣ. Les deux fonctions sont dérivables à dérivées continues sur [0 ; 1].
I = [ x eˣ ]₀¹ − ∫₀¹ 1 × eˣ dx = ( 1·e¹ − 0·e⁰ ) − [ eˣ ]₀¹
= e − ( e − 1 ) = 1.

Posons t = ln x. Alors dt = dx / x.
Bornes : x = 1 donne t = ln 1 = 0 ; x = e donne t = ln e = 1.
J = ∫₀¹ t dt = [ t²/2 ]₀¹ = 1/2.
Variante sans changement de variable : l’intégrande est de la forme u′u avec u = ln x, donc une primitive est (ln x)²/2, et J = (ln e)²/2 − (ln 1)²/2 = 1/2. Les deux méthodes concordent. ✓

Sur [0 ; 1], on a x² ≤ x (car x² − x = x(x − 1) ≤ 0 sur cet intervalle). La courbe y = x est donc au-dessus.
A = ∫₀¹ ( x − x² ) dx = [ x²/2 − x³/3 ]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6 unité d’aire.
La justification du signe de x − x² avant le calcul fait partie du barème.