Nombres complexes — 2ème BAC Sciences Math : cours et exercices corrigés

|z| = √(1² + (√3)²) = √4 = 2.
On écrit z = 2 ( 1/2 + i √3/2 ). On cherche θ tel que cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2 : c’est θ = π/3.
Donc z = 2 e^(iπ/3).
Par la formule de Moivre, z⁶ = 2⁶ e^(i × 6 × π/3) = 64 e^(2iπ) = 64 × 1 = 64. C’est un réel positif.

Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16 < 0.
On écrit −16 = (4i)², donc les racines sont z = ( 2 ± 4i ) / 2, soit z₁ = 1 + 2i et z₂ = 1 − 2i.
Les deux solutions sont bien conjuguées, ce qui est attendu pour une équation à coefficients réels. Vérification : z₁ + z₂ = 2 = −b/a et z₁ z₂ = 1 + 4 = 5 = c/a. ✓

Méthode géométrique. Notons A le point d’affixe 1 et B celui d’affixe i. La condition s’écrit AM = BM : (E) est la médiatrice du segment [AB].
Corrigé — vérification analytique. Posons z = x + iy. Alors
|z − 1|² = (x − 1)² + y² et |z − i|² = x² + (y − 1)².
L’égalité des modules équivaut à celle des carrés :
x² − 2x + 1 + y² = x² + y² − 2y + 1, d’où −2x = −2y, soit y = x.
(E) est donc la droite d’équation y = x, qui est bien la médiatrice de [AB]. ■