Fonction exponentielle — 2ème BAC Sciences Math : cours et exercices corrigés

Posons X = eˣ, avec la contrainte X > 0. Comme e^(2x) = (eˣ)² = X², l’équation devient X² − 3X + 2 = 0.
Le discriminant vaut Δ = 9 − 8 = 1, d’où X = 1 ou X = 2. Les deux valeurs sont strictement positives, donc acceptables.
eˣ = 1 donne x = 0 ; eˣ = 2 donne x = ln 2.
S = {0 ; ln 2}.

Forme ∞ − ∞. On factorise par eˣ, qui est strictement positif :
eˣ − x² = eˣ ( 1 − x² / eˣ ).
Or lim_x→+∞ eˣ / x² = +∞, donc lim_x→+∞ x² / eˣ = 0 et la parenthèse tend vers 1.
Comme eˣ → +∞, on obtient lim_x→+∞ ( eˣ − x² ) = +∞.

f est dérivable sur ℝ comme produit de fonctions dérivables. Avec u = x + 1 et v = e^(−x) :
f′(x) = 1 × e^(−x) + (x + 1) × ( −e^(−x) ) = e^(−x) ( 1 − x − 1 ) = −x e^(−x).
Comme e^(−x) > 0, le signe de f′ est l’opposé de celui de x : f est croissante sur ]−∞ ; 0] et décroissante sur [0 ; +∞[. Elle admet donc un maximum en 0, de valeur f(0) = 1.
Limites. En −∞ : x + 1 → −∞ et e^(−x) → +∞, donc f(x) → −∞.
En +∞ : posons t = −x. f(x) = (x+1)e^(−x) = x e^(−x) + e^(−x). Or lim_x→+∞ x e^(−x) = 0 par croissances comparées, et e^(−x) → 0. Donc f(x) → 0.
La droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale en +∞. De plus f(x) > 0 pour x > −1 : la courbe reste au-dessus de son asymptote.