Fonction logarithme népérien — 2ème BAC Sciences Math : cours et exercices corrigés

Domaine. Il faut x − 1 > 0 et x + 1 > 0, donc x > 1.
Sur ce domaine, ln(x−1) + ln(x+1) = ln[(x−1)(x+1)] = ln(x² − 1).
L’équation devient ln(x² − 1) = ln 3, soit x² − 1 = 3, donc x² = 4 et x = 2 ou x = −2.
Seul x = 2 appartient à ]1 ; +∞[. S = {2}. La valeur −2 est à rejeter explicitement — c’est un point de barème.

C’est une forme ∞ − ∞. On factorise par x, qui est strictement positif au voisinage de +∞ :
x − ln x = x ( 1 − ln x / x ).
Or lim_x→+∞ ln x / x = 0 par croissances comparées, donc la parenthèse tend vers 1, et x → +∞.
Par produit, lim_x→+∞ ( x − ln x ) = +∞.

f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et f′(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x.
Comme x > 0, le signe de f′ est celui de x − 1 : f′ < 0 sur ]0 ; 1[ et f′ > 0 sur ]1 ; +∞[.
f est donc décroissante puis croissante, et admet un minimum en x = 1, de valeur f(1) = 1 − ln 1 = 1.
Par conséquent, pour tout x > 0 : x − ln x ≥ 1, c’est-à-dire ln x ≤ x − 1. ■
Remarque. Cette inégalité est un grand classique : elle sert à majorer dans de nombreux exercices sur les suites.