2ème BAC Sciences Math · Chapitre 3
Soit f(x) = (2x − 1)/(x + 3). Calculer f′(x), puis écrire l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse −1.
f est définie et dérivable sur ℝ \ {−3}. Avec u = 2x − 1 et v = x + 3 :
f′(x) = ( 2(x+3) − (2x−1)×1 ) / (x+3)² = (2x + 6 − 2x + 1) / (x+3)² = 7 / (x+3)².
En x = −1 : f(−1) = (−2−1)/2 = −3/2 et f′(−1) = 7/4.
Tangente : y = (7/4)(x + 1) − 3/2 = (7/4)x + 7/4 − 6/4, soit y = (7/4)x + 1/4.
Montrer que pour tous réels a et b : |sin b − sin a| ≤ |b − a|.
Si a = b l’inégalité est évidente. Supposons a < b. La fonction sinus est continue sur [a ; b] et dérivable sur ]a ; b[.
D’après le TAF, il existe c ∈ ]a ; b[ tel que sin b − sin a = (b − a) cos c.
Or |cos c| ≤ 1 pour tout réel c, donc |sin b − sin a| = |b − a| × |cos c| ≤ |b − a|. Le cas b < a s’obtient en échangeant les rôles de a et b. ■
Soit f(x) = (x² + 1)/(x − 1). Étudier les branches infinies de sa courbe et préciser la position de la courbe par rapport à l’asymptote oblique.
f est définie sur ℝ \ {1}. Comme limx→1 (x²+1) = 2 ≠ 0 et que x − 1 → 0, la droite x = 1 est asymptote verticale.
Effectuons la division euclidienne : x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2, donc f(x) = x + 1 + 2/(x − 1).
Quand x → ±∞, 2/(x−1) → 0, donc f(x) − (x + 1) → 0 : la droite y = x + 1 est asymptote oblique en +∞ et en −∞.
Position : f(x) − (x + 1) = 2/(x − 1). Ce quotient est strictement positif pour x > 1 et strictement négatif pour x < 1. La courbe est donc au-dessus de l’asymptote sur ]1 ; +∞[ et en dessous sur ]−∞ ; 1[.
Le Pack Complet 2ème BAC Sciences Math reprend l’étude de fonction complète, telle qu’elle tombe à l’examen national, avec la rédaction attendue par les correcteurs.
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