Suites numériques — 2ème BAC Sciences Math : cours et exercices corrigés

vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 6 = (1/3)uₙ + 4 − 6 = (1/3)uₙ − 2 = (1/3)( uₙ − 6 ) = (1/3) vₙ.
Donc (vₙ) est géométrique de raison q = 1/3, de premier terme v₀ = u₀ − 6 = −4.
Ainsi vₙ = −4 × (1/3)ⁿ, puis uₙ = 6 − 4 × (1/3)ⁿ.
Comme |1/3| < 1, (1/3)ⁿ → 0, donc lim uₙ = 6.

Pour tout entier n, −1 ≤ sin n ≤ 1, donc n − 1 ≤ n + sin n ≤ n + 1.
En divisant par n + 1 > 0 : (n − 1)/(n + 1) ≤ uₙ ≤ 1.
Or (n − 1)/(n + 1) = (1 − 1/n)/(1 + 1/n) → 1 quand n → +∞.
Les deux membres de l’encadrement tendent vers 1 : d’après le théorème des gendarmes, lim uₙ = 1.

Étape 1 — encadrement. Montrons par récurrence que 0 ≤ uₙ ≤ 2 pour tout n.
C’est vrai pour n = 0 puisque u₀ = 0. Supposons 0 ≤ uₙ ≤ 2. Alors 2 ≤ uₙ + 2 ≤ 4, donc √2 ≤ √(uₙ+2) ≤ 2, c’est-à-dire 0 ≤ uₙ₊₁ ≤ 2. La propriété est héréditaire.
Étape 2 — monotonie. uₙ₊₁² − uₙ² = uₙ + 2 − uₙ² = −(uₙ − 2)(uₙ + 1). Pour 0 ≤ uₙ ≤ 2, on a uₙ − 2 ≤ 0 et uₙ + 1 > 0, donc ce produit est positif : uₙ₊₁² ≥ uₙ². Les termes étant positifs, uₙ₊₁ ≥ uₙ : la suite est croissante.
Étape 3 — convergence. (uₙ) est croissante et majorée par 2 : d’après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel ℓ, avec 0 ≤ ℓ ≤ 2.
Étape 4 — limite. La fonction x ↦ √(x + 2) est continue sur [0 ; 2], donc ℓ = √(ℓ + 2), d’où ℓ² = ℓ + 2, soit ℓ² − ℓ − 2 = 0. Les solutions sont ℓ = 2 et ℓ = −1. Comme ℓ ≥ 0, on conclut lim uₙ = 2.