Limites et continuité — 2ème BAC Sciences Math : cours et exercices corrigés

On multiplie et on divise par la quantité conjuguée √(x²+x+1) + x :
√(x²+x+1) − x = (x²+x+1 − x²) / (√(x²+x+1) + x) = (x+1) / (√(x²+x+1) + x).
Pour x > 0 on factorise par x au numérateur et au dénominateur (avec √(x²) = x puisque x > 0) :
= x(1 + 1/x) / [ x(√(1 + 1/x + 1/x²) + 1) ] = (1 + 1/x) / (√(1 + 1/x + 1/x²) + 1).
Quand x → +∞, 1/x → 0 et 1/x² → 0, donc la limite vaut 1 / (1 + 1) = 1/2.

Posons f(x) = x³ + x − 1. f est une fonction polynôme, donc continue sur [0 ; 1].
f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0, donc f(0) × f(1) < 0. D’après le TVI, l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution α dans ]0 ; 1[.
De plus f′(x) = 3x² + 1 > 0 pour tout réel x : f est strictement croissante sur [0 ; 1], donc elle ne peut prendre la valeur 0 qu’une seule fois. La solution α est donc unique.

f est un polynôme, donc continue sur I. f′(x) = 2x − 2 = 2(x − 1) ≥ 0 sur I, et f′ ne s’annule qu’en 1 : f est strictement croissante sur I.
f(1) = −1 et lim_x→+∞ f(x) = +∞, donc J = f(I) = [−1 ; +∞[. Par le théorème de la bijection, f réalise une bijection de [1 ; +∞[ vers [−1 ; +∞[.
Soit y ∈ J. On résout y = x² − 2x, c’est-à-dire x² − 2x − y = 0. Le discriminant vaut Δ = 4 + 4y = 4(1 + y) ≥ 0, d’où x = 1 − √(1+y) ou x = 1 + √(1+y).
Comme x doit appartenir à [1 ; +∞[, on ne garde que la seconde. Donc f⁻¹(y) = 1 + √(1 + y) pour tout y ∈ [−1 ; +∞[.