Limites et continuité — 2ème BAC PC et SVT : cours et exercices corrigés

C’est une forme indéterminée ∞/∞. On factorise par x² au numérateur et au dénominateur :
( 3x² − x + 2 ) / ( x² + 5 ) = x² ( 3 − 1/x + 2/x² ) / [ x² ( 1 + 5/x² ) ] = ( 3 − 1/x + 2/x² ) / ( 1 + 5/x² ).
Quand x → +∞ : 1/x → 0, 2/x² → 0 et 5/x² → 0.
La limite vaut donc 3 / 1 = 3. On retrouve bien le quotient des termes de plus haut degré : 3x² / x² = 3.

En x = 2, le numérateur et le dénominateur s’annulent : forme indéterminée 0/0.
On factorise : x² − 4 = ( x − 2 )( x + 2 ).
Pour x ≠ 2, l’expression se simplifie en x + 2.
Donc lim_x→2 ( x² − 4 )/( x − 2 ) = 2 + 2 = 4.

f est une fonction polynôme, donc continue sur [1 ; 2].
f(1) = 1 + 1 − 3 = −1 < 0 et f(2) = 8 + 4 − 3 = 9 > 0.
D’après le TVI, l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution α dans ]1 ; 2[.
De plus f′(x) = 3x² + 2x = x(3x + 2), qui est strictement positif sur [1 ; 2] : f y est strictement croissante, donc la solution est unique.
Encadrement. f(1,2) = 1,728 + 1,44 − 3 = 0,168 > 0, donc α < 1,2.
f(1,1) = 1,331 + 1,21 − 3 = −0,459 < 0, donc α > 1,1.
Ainsi 1,1 < α < 1,2.