Tronc Commun Sciences · Chapitre 7
Factoriser P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6.
On cherche une racine évidente : P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0. Donc 1 est racine et (x − 1) divise P.
La division donne P(x) = (x − 1)( x² − x − 6 ).
On factorise le trinôme : Δ = 1 + 24 = 25, d’où x = (1 ± 5)/2, soit x = 3 ou x = −2.
Ainsi x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), et finalement
P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2).
Vérification : le produit des racines 1 × 3 × (−2) = −6, et le terme constant de P vaut 6 = −(−6). ✓
Effectuer la division euclidienne de A(x) = 2x³ + x² − 3 par B(x) = x − 1.
A(1) = 2 + 1 − 3 = 0 : le reste sera nul.
On cherche Q(x) = ax² + bx + c tel que A(x) = (x − 1) Q(x).
En développant : (x − 1)(ax² + bx + c) = ax³ + (b − a)x² + (c − b)x − c.
Par identification avec 2x³ + x² + 0x − 3 : a = 2 ; b − a = 1 donc b = 3 ; c − b = 0 donc c = 3 ; et −c = −3 ✓.
Q(x) = 2x² + 3x + 3, reste nul.
Étudier le signe de f(x) = x² − 5x + 6 sur ℝ.
Δ = 25 − 24 = 1 > 0, donc deux racines : x = (5 ± 1)/2, soit x₁ = 2 et x₂ = 3.
Le coefficient dominant vaut a = 1 > 0.
Le trinôme est donc positif sur ]−∞ ; 2] et sur [3 ; +∞[, et négatif sur [2 ; 3], en s’annulant en 2 et en 3.
C’est la compétence la plus réutilisée du lycée. Le soutien en direct permet de la travailler jusqu’à l’automatisme.
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