Fonction exponentielle — 2ème BAC PC et SVT : cours et exercices corrigés

Posons X = eˣ, avec X > 0. Comme e^(2x) = ( eˣ )² = X², l’équation devient X² − X − 6 = 0.
Δ = 1 + 24 = 25, donc X = ( 1 ± 5 ) / 2, soit X = 3 ou X = −2.
La valeur X = −2 est à rejeter car une exponentielle est strictement positive.
Il reste eˣ = 3, d’où x = ln 3. S = { ln 3 }.

f est de la forme eᵘ avec u(x) = −2x + 1, donc u′(x) = −2.
Ainsi f′(x) = u′(x) e^(u(x)) = −2 e^(−2x + 1).
Comme e^(−2x+1) > 0, f′(x) < 0 : f est strictement décroissante sur ℝ.

f est dérivable sur ℝ comme produit. Avec u = x et v = e^(−x) :
f′(x) = 1 × e^(−x) + x × ( −e^(−x) ) = e^(−x) ( 1 − x ).
Comme e^(−x) > 0, le signe de f′ est celui de 1 − x : f′ > 0 pour x < 1, f′ < 0 pour x > 1.
f est donc croissante sur ]−∞ ; 1] puis décroissante sur [1 ; +∞[, avec un maximum f(1) = 1/e ≈ 0,368.
Limites. En −∞ : x → −∞ et e^(−x) → +∞, donc f(x) → −∞.
En +∞ : f(x) = x / eˣ → 0 par croissances comparées. La droite y = 0 est asymptote horizontale en +∞, et f(x) > 0 pour x > 0 : la courbe reste au-dessus de l’axe.