Fonction logarithme népérien — 2ème BAC PC et SVT : cours et exercices corrigés

Domaine. Il faut 2x + 1 > 0, soit x > −1/2.
Sur ce domaine, ln(2x + 1) = 1 équivaut à 2x + 1 = e¹ = e.
D’où 2x = e − 1 et x = ( e − 1 ) / 2 ≈ 0,859.
Cette valeur est bien supérieure à −1/2, donc S = { (e − 1)/2 }.

Domaine. x > 0.
La fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ; +∞[, l’inéquation équivaut à x ≥ e².
Comme e² ≈ 7,39 > 0, la condition de domaine est automatiquement satisfaite.
S = [ e² ; +∞ [.

f est dérivable sur ]0 ; +∞[ comme quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne s’annulant pas.
Avec u = ln x et v = x : f′(x) = [ (1/x) × x − ln x × 1 ] / x² = ( 1 − ln x ) / x².
Comme x² > 0, le signe de f′ est celui de 1 − ln x : positif si ln x < 1, c’est-à-dire x < e ; négatif si x > e.
f est donc croissante sur ]0 ; e] et décroissante sur [e ; +∞[, avec un maximum f(e) = 1/e ≈ 0,368.
Limites. En 0⁺ : ln x → −∞ et 1/x → +∞, donc f(x) → −∞ ; la droite x = 0 est asymptote verticale.
En +∞ : par croissances comparées, f(x) = ln x / x → 0 ; la droite y = 0 est asymptote horizontale.