2ème BAC Sciences Physiques & SVT · Chapitre 3
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Soit (uₙ) la suite arithmétique de premier terme u₀ = 3 et de raison r = 5. Exprimer uₙ en fonction de n, puis calculer S = u₀ + u₁ + … + u₁₉.
uₙ = u₀ + n r = 3 + 5n.
La somme comporte 20 termes (de u₀ à u₁₉), avec u₁₉ = 3 + 5 × 19 = 98.
S = 20 × ( u₀ + u₁₉ ) / 2 = 20 × ( 3 + 98 ) / 2 = 20 × 101 / 2 = 1010.
Soit (uₙ) définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 0,5 uₙ + 3. On pose vₙ = uₙ − 6. Montrer que (vₙ) est géométrique, exprimer uₙ en fonction de n, puis donner sa limite.
vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 6 = 0,5 uₙ + 3 − 6 = 0,5 uₙ − 3 = 0,5 ( uₙ − 6 ) = 0,5 vₙ.
(vₙ) est donc géométrique de raison q = 0,5, de premier terme v₀ = u₀ − 6 = −5.
Ainsi vₙ = −5 × 0,5ⁿ, puis uₙ = 6 − 5 × 0,5ⁿ.
Comme 0 < 0,5 < 1, on a 0,5ⁿ → 0, donc lim uₙ = 6.
Remarque. uₙ₊₁ − uₙ = 5 × 0,5ⁿ × (1 − 0,5) > 0 : la suite est croissante et majorée par 6, ce qui confirme la convergence.
Déterminer la limite de uₙ = ( 3n² + 1 ) / ( n² + n ) pour n ≥ 1.
Forme indéterminée ∞/∞. On factorise par n² en haut et en bas :
uₙ = n² ( 3 + 1/n² ) / [ n² ( 1 + 1/n ) ] = ( 3 + 1/n² ) / ( 1 + 1/n ).
Quand n → +∞ : 1/n² → 0 et 1/n → 0.
Donc lim uₙ = 3.
Le pack vidéo 2ème BAC PC / SVT traite les suites sur des annales de l’examen national, avec la rédaction attendue.
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