Dérivation — 2ème BAC PC et SVT : cours et exercices corrigés

f est dérivable sur ℝ et f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).
f′(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[ et sur ]1 ; +∞[ ; f′(x) < 0 sur ]−1 ; 1[.
f est donc croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 1], puis croissante sur [1 ; +∞[.
f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3 : maximum local. f(1) = 1 − 3 + 1 = −1 : minimum local.
Limites : lim_x→−∞ f(x) = −∞ et lim_x→+∞ f(x) = +∞ (limite du terme x³).

f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et f′(x) = 1 / (2√x).
f(4) = √4 = 2 et f′(4) = 1 / (2 × 2) = 1/4.
Équation : y = f′(4)(x − 4) + f(4) = (1/4)(x − 4) + 2 = (1/4)x − 1 + 2.
La tangente a donc pour équation y = x/4 + 1.

f est définie et dérivable sur ℝ \ {1}.
f′(x) = [ 2(x − 1) − (2x + 1) × 1 ] / (x − 1)² = ( 2x − 2 − 2x − 1 ) / (x − 1)² = −3 / (x − 1)².
Le dénominateur étant strictement positif, f′(x) < 0 : f est strictement décroissante sur ]−∞ ; 1[ et sur ]1 ; +∞[ (mais pas sur la réunion des deux).
Asymptotes. lim_x→1 (2x + 1) = 3 ≠ 0 et x − 1 → 0, donc x = 1 est asymptote verticale.
En ±∞, f(x) se comporte comme 2x / x = 2, donc y = 2 est asymptote horizontale.
Position. f(x) − 2 = ( 2x + 1 − 2x + 2 ) / ( x − 1 ) = 3 / ( x − 1 ), positif pour x > 1 et négatif pour x < 1 : la courbe est au-dessus de l’asymptote sur ]1 ; +∞[ et en dessous sur ]−∞ ; 1[.